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• 对书评“蒙昧主义的胜利”所提哲学概念和亚里斯多德的讨论

  作者：ifnoproc 发布时间：2021-12-20 12:44:21

  在那个年代“哲学”概念不完全等同于今天的哲学，比较接近古希腊的“哲学”，包括理论的智慧和实践的智慧，后者包括广义的技术）（邓晓芒《古希腊罗马哲学演讲录》），牛顿的那本不就叫Natural Philosophy自然哲学吗。科学、科学家的提法是经Willian Whewell普及的（我不知道是不是他首创的），History of the Inductive Sciences这本书就采用了(Inductive) Sciences的说法。

  对于亚里士多德，他关于“物体下落速度与物体重量成正比”的说法是后人在伽利略著作基础上添油加醋捏造的，实际上亚里士多德没有这个论述，勉强相关的原话是讨论真空的问题，而不是自由落体。伽利略歪曲地引用也是讨论真空而不是自由落体。这篇文章(Education in science, history of science, and the textbook — Necessary vs. sufficient conditions by J. Bruce Brackenridge)中有原话转述，链接：

  https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01807049.pdf

  。

  亚里士多德放在后代应该更接近道尔顿等人的治学方式，之所以备受批判（而批判的理由是捏造的）是科学范式的问题，现代科学与它宣称的不同，不是继承基础上革新，反而是拆了旧房盖新房，“不断毁灭自己的过去”，这在物理学史中表现地非常明显。薛定谔认为现代科学的产生是离开亚里士多德回到柏拉图，从柏拉图的理念主义中汲取力量，我认为他也很可能是被文艺复兴以来捏造的科学史所欺骗。

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• 女儿对母亲的爱，也可能是烦人的

  作者：AMMO 发布时间：2022-12-03 19:17:27

  “那不勒斯四部曲”自然是埃莱娜·费兰特最负盛名的作品，一直想找个时间一口气读完但一直没能实现。而作为出道之作的《烦人的爱》，更可以看做是一把钥匙，能够帮助打开埃莱娜·费兰特的文学世界，100多页很快可以读完，也充分展现了埃莱娜·费兰特的文字风格和细腻情感，大多数时候，人总是在失去之后才懂得思考。

  在《烦人的爱》里，我们可以窥见埃莱娜·费兰特所描绘的家庭状况，主人公黛莉亚的父母关系并不融洽，很早就分开生活，她是三个女儿中年纪最大的那个，而原生家庭的不幸福和不完整对孩子的影响也许是终身的。书中着重描述的是黛莉亚和她母亲之间的羁绊，而对于这一切的回忆和思考，都发生在母亲被发现意外溺亡之后，在黛莉亚回到了那个她不愿意再回的家乡之后。

  黛莉亚的父亲有着强烈的嫉妒心和暴力倾向，始终怀疑妻子不是已经出轨就是故意卖弄风姿，经常因此而大打出手，当然最后夫妻俩分道扬镳，但也让黛莉亚过去的回忆并不美好。在离开家乡之后，黛莉亚与所有的人亲戚断绝了来往，他们会用方言抱怨我母亲的厄运，用粗俗的语气指责我父亲的行径，而这次回家操办母亲的葬礼，也算是逃避后再次直面儿时的回忆。

  母亲在河边被发现之时，身上穿着高档的精致内衣，并且在家中还有一箱，这些衣物黛莉亚从未见过，而黛莉亚也试图找出母亲的死因。因为父亲的缘故，母亲之前一直都以朴素的形象示人，而黛莉亚自己其实也对母亲怀着强烈的占有欲，也会因为父亲的说法和母亲的举动有所联想，女儿对母亲的爱，也可以是烦人的，也会蒙蔽自己的双眼，黛莉亚从未真正了解母亲，直到这次通过她的走访和回忆，才慢慢找到了被击碎了的真相，就是母亲的痛苦不仅来自于丈夫的残忍，外界的有色眼镜，也同样被女儿所困扰，作为女儿，也很容易伤害到自己的母亲。

  书的最后一句是，“其实，阿玛利娅一直在那里，我就是阿玛利娅。”也许不是每个女儿都渴望成为自己母亲那样，但黛莉亚最后打扮成母亲的样子，也算是表达对母亲的愧疚，对自我的救赎。

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• “独立”的司马懿形象

  作者：hy123123 发布时间：2020-09-12 10:56:54

  作者将司马懿这一历史人物从《三国演义》的众多人物中抽离出来，完整且详细地塑造一个睿智、多谋、果敢的人物形象，就像书中所说司马懿不愧是三国后期的核心人物。书中史料丰富，内容翔实，从客观、真实的角度带给读者不一样的感受。之前有看过改编的影视作品，也涉及对司马懿的描绘，在读这本书时会不自觉将两者进行比较，或者带入分析，最终头脑中会有一个清晰明智的判断，这也许就是读史的意义。

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• 这是一本有关颜控的历史书

  作者：胖兔君 发布时间：2023-09-22 14:16:07

  书名：魏晋有美男

  作者：古人很潮

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  这本书是古人很潮系列书之一，只是这书跟之前看的有些区别，以文字叙述为主，没有插画。有点小小遗憾。

  此书全程贯穿“颜”。“颜控”不是哪个朝代的专利。自先秦以来，各种有关“颜控”的故事，史不绝书。但是唯独六朝尤其魏晋，才是大众认知里，以“颜控”著称的时代。

  两晋名士潘岳，夏侯湛，年少时同车上街，招来无数路人围观，号称联璧。潘岳本来也曾经被市中妇女牵手围观，投赠，留下了“掷果盈车”的典故。

  曹操义子何宴，肤白貌美。魏明帝曹睿想知道他到底是抹了粉还是天生这么白，于是将召进宫中，赏赐热汤给他喝。何宴满头大汗的喝完了汤，又卷起袖子擦额上的汗水，不仅没有掉粉，反而愈发肤如凝脂，洁白如玉。“傅粉何郎”一词也是因为何宴而来。

  西晋的清淡领袖之一裴楷，由于气度高雅，风采神韵，才貌双全，被当时的人称为“玉人。”

  “竹林七贤”之一的嵇康也因为其风姿卓越，貌似仙人，被称为“玉山”。因为长得太帅，被曹氏郡主看上甘愿下嫁；因为长得太帅，上山采药被误人为是“神仙。

  古今最著名的美男子潘安，史书上记载他“美姿仪，少以才名闻世。”虽然他长得帅，但是他一生只娶了杨氏一人。

  号称“五胡十六国时期倾国倾城第一美男子”慕容冲，在他身上的故事就像一个“美惨强”电视剧：从luan童——复仇——被灭。

  除了以上美男以外，书中还讲了看起来

  乖巧可爱，实际腹黑狡猾的王衍；

  性格温顺，“看杀卫玠”悲剧之人卫玠；

  人见人爱，后台强硬的高富帅王献之；

  性格认真，情感专一，内心文艺的谢混；

  文武双全，喜欢冒险，决断力强的独孤信；

  为人低调，实力深藏不露的韩子高；

  外冷内热的高长恭等等。这些人物小传就像一部微短剧，特别有意思。

  看了这么多美男后，如果是你，你会选择哪一个呢？随书有一套测试题，专门测你的魏晋男友是哪个？说实话还蛮准的，以我的性格来说，我确实喜欢温柔如风，伴你随行类型的：裴楷，谢混。

  那么魏晋美男是如何养成的呢？

  想成为魏晋美男？基因真得很重要【门阀制度】

  峰上没有虱子也好意思当名士【名士仪容】

  客官需要五石散吗？【饮食习惯】

  名士必备技能：吹口哨【玩乐宝典】

  魏晋“奇葩说”开讲了【清谈大师】

  当不当官，还真是个问题【权力游戏】

  总之想知道魏晋名士生平，更想了解魏晋名士修养，读这本书就够了。

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• Rational Numbers to Linear Equations前言试译

  作者：地球旅客 发布时间：2024-02-04 13:15:52

  虽然本篇书评并不是出自本书，但下文中六卷本实为一个系列。为使更多感兴趣的朋友接触这六本书，特将本人拙译之第四卷前言贴在此处。

  试译是为了让看到这里的人能够稍微了解其大概，不保证信达雅。

  注：试译已完成，可能会抽空校订。另两本的前言也已经翻译出来，见相应豆瓣页面的评论。没有翻译初中那两本的前言，一是时间有限；二是高中的内容既已涵盖初中内容，那么从重要性来说，高中部分似乎更为要紧；三是就前言而论，初中部分确实没有高中部分详细，因而计划只翻译高中部分的前言。三本书的To the Instructor是相同的，视情况而定是否翻译，如若翻译则只发表在Rational Numbers to Linear Equations的评论中，不在另两本书的主页下发布。据说初高中的五本书正在翻译中，望能早日问世，以飨读者。

  另：

  [Wu2011]：

  Understanding Numbers in Elementary School Mathematics

  ，有中译本《数学家讲解小学数学》，2016，北京大学出版社。

  [Wu2016a]：

  Teaching School Mathematics: Pre-Algebra

  [Wu2016b]：

  Teaching School Mathematics: Algebra

  [Wu2020a]：

  Rational Numbers to Linear Equations

  [Wu2020b]：

  Algebra and Geometry

  [Wu2020c]：

  Pre-Calculus, Calculus, and Beyond

  “正如我们在一开始所说的，我们希望正在讨论的这六卷书可以成为更好的学校教科书的蓝图。但让我们在这方面补充一些警告。首先，这六卷书肯定不是学生教科书：它们是专门为成年人（教师和教育者，也许还有一些好奇的父母）写的。然而，它们的数学内容是经过精心定制（即设计）的，以便在适当的年级中使用——至少就数学的复杂水平而言，因此经过一些简单的教学修改和修饰，它们可以扩展为学生教科书。”

  (As we said at the beginning, we hope these six volumes under discussion can serve as a blueprint for better school textbooks. But let us add a few caveats in this regard. First of all, these six volumes are certainly not student textbooks: they are written specifically for adults (teachers and educators, maybe some curious parents). Nevertheless, their mathematical content has been carefully customized (i.e., engineered) for use in the appropriate grades, at least as far as the mathematical level of sophistication is concerned, so that after some straightforward pedagogical modifications and embellishments, they can be expanded into student textbooks.)

  摘自 [Wu2020a] Preface

  以下文本未经复核、编辑。

  我斗胆认为，定义的真正重要性即使在好的课本中也没有被充分地强调······它们构成前提，经由这些前提，通过逻辑推导过程，自然地就得到其它代数定理。——George A. Gibson

  一个国家（nation）的数学教育水平只能和其数学教师的水平持平。学校数学教学中正在发生的危机(cf. [RAGS])因而提出了一个问题：在我们对数学教师做的准备工作出了什么问题？答案是

  充足

  的：对教师的

  数学

  教育的长期忽视最终自食恶果。这样的忽视在K12中展现出来：我们未能确保将正确的数学教给学生——尤其是未来的教师们，我们未能在大学中为职前教师提供修复错误数学教育所需的纠正措施，加深了这一点。因此，我国的数学教师，并非由于自身的过错，被置于教学不能维持的境地：他们不具备履行其基本职责所需的数学知识。

  本卷是六卷中的第四卷，这六卷书的共同目标是：为全面进攻K12中数学教师的

  数学

  教育危机提供所需的数学支持。这一卷是三卷中的第一卷——另外两卷是[Wu2020b]和[Wu2020c]——对9-12年级的数学（除了概率和统计）给了一个系统的、符合年级水平的解释，附带一些有理数的必要背景知识。我们确信——截至2020年——这些数学知识是所有高中数学教师教学所需、对高中数学感兴趣的数学教育者研究所需。前三卷——讨论K6数学内容的一卷[Wu2011a]（已出版中译本《数学家讲解小学数学》，译者注）和讨论6-8年级数学的两卷[Wu2016a][Wu2016b]——已经出版。我们希望这六卷能服务于两个目标——一方面改变大学中对职前数学教师和未来的数学教育者的

  数学

  教学，另一方面，给教科书出版社一个在教科书中既正确又易学地引入数学的

  详细

  的蓝图。这六卷还要为数学管理者和数学专业开发者巩固关键的数学背景。

  在教育文献中，关于

  学校数学(school mathematics)

  即K12数学的书籍——无论是全部还是部分——已经完整无缺。我们决定再在文献中加进2500页（这六卷近似的总页数），因为我们相信这六卷提供了解决数学教育中两大核心问题的第一个尝试，这两大核心问题分别是：学校数学是否能尊重数学的完整性、数学教师或是数学教育者到底需要知晓多少数学知识。

  尊重数学健全性(mathematical integrity)的学校数学

  我们先处理前者。这六卷书

  详细地

  证实了这样一个事实：学校数学，在从幼儿园到12年级的标准学校数学课程进程中保持忠实度的基础上，

  能够

  尊重数学的健全性。这样的保证经过漫长的等待终于来临。

  在接下来的几页中，我们将会解释什么是数学的健全性、以及为什么一个对学校数学的阐释——尊重数学健全性的阐释——是重要的。

  乍一看，这很荒唐——居然有必要去解释学校数学是否尊重数学的健全性。难道学校数学，顾名思义，不是数学的一部分，依其身份，不蕴含该学科固有的健全性吗？这是一个对于

  学校数学

  的误解，我们必须立即面对。如果你将数学家做的，或是大学数学系里教授的东西理解为

  数学

  的话，那么学校数学其实

  不是

  数学的一部分。更准确地说，

  学校数学

  是数学的一个

  工程(engineered)

  版本——就[Wu2006]中引入的

  数学工程(mathematical engineering)

  的意义而言——就如同土木工程是牛顿力学的一个

  工程

  版本一样。数学设计基于K12学生的需求量身定制了数学的抽象。举例来说，数学中的分数是一个简单明了的概念：它是整数的整环的商域中的元素。谢天谢地，没人建议我们将这讲给十岁的小朋友。数学工程在此时介入，重新塑造了分数的概念，这样小学生就能理解分数这个概念了（见[Wu1998]）。这样的例子在K12课程中随处可见，例如：负数、直线的斜率、几何测度（geometric measurements）（长度、面积、体积）、全等、相似、指数函数、对数、平面几何的公理，凡此种种。因此，为使学生能够学会这些抽象概念所需的设计有时大量出现。现在有了好的设计，但也有坏的设计，问题在于：

  好的

  数学设计是否出现在学校数学中。令人不快的是，答案

  并非总是如此

  。实际上，学校数学和数学健全性早在至少五十年前就分道扬镳了，自那以后，我们的学校一直被非常糟糕的数学设计的产物所困扰。

  在进一步讨论之前，我们先解释一下究竟什么是

  数学的健全性

  ，因为这个概念正在成为焦点。如果一种数学的阐释包含如下五种特点，我们就说它具有

  数学的健全性(mathematical integrity)

  ：

  (a)

  定义(Definitions)

  ：每个概念都被明确而精确地定义，这样，所讨论的内容就没有歧义了。（见本序言开头引用的Gibson的话）

  (b)

  精确(Precision)

  ：所有陈述都是精确的，特别是那些确保数学断言有效的假设、证明中的推理，以及根据一连串的假设得出的结论。

  (c)

  推理(Reasoning)

  ：除了不可避免的基本假设外，所有的陈述都有推理支持。

  (d)

  连贯(Coherence)

  ：基本概念和技巧都逻辑地交织，形成一个统一的结构，它们的内在联系被一致地揭示。

  (e)

  目的(Purposefulness)

  ：每一个概念和技巧背后的数学目的都被清楚地体现出来，以便对为什么它在它所在的位置这个问题毫无疑问。

  这几项，我们将其称为

  数学的基本原则（Fundamental Principles of Mathematics）

  。更全面的讨论可在pp. xxvii ff.的

  致教师（To the Instructor）

  部分的pp. xxviii-xxxiii中找到。但有两件事马上就得说。首先，到目前为止，在教育文献中，学校数学中定义的作用被误解了，也被错误地展现。因此，对教育者而言，对定义的强调似乎是错位的。可以在pp.xxix-xxx发现对定义更平衡的呈现。其次，在数学背景下，

  推理

  和

  证明

  没有区别。教育文献中通常所说的

  解决问题

  在数学中是所谓

  证明定理

  的一部分。总而言之，不难看出——这三卷也将证明——这五个基本原则使数学

  清晰易懂

  ，这就是说，所有的东西都是摆在台面上的，在学习过程中不需要猜测或特权知识来解码它。这些基本原则也是保证数学可以被所有学生

  理解

  、

  学会

  的特质。如果我们希望数学的学习在学校中出现，那么我们责无旁贷，要教授与这些基本原则一致的学校数学。

  但是要回到对过去五十年学校数学的讨论，我们必须先问：到底什么

  是

  学校数学？这实际上是这六卷书([Wu2011a], [Wu2016a], … , [Wu2020c])试图去回答的问题。但是除此之外，我们只能说学校数学是大多数K12数学教材中常见的内容，以及大多数旨在为数学教师和数学教育者建立专业发展的

  大学教科书

  中的内容（对比[NMAP2]第三章附录B对学校教材的评论）。如果这对于读者来说太过含糊，他们将会松一口气，因为这些教科书中有着惊人的一致性。举例来说，一个分数被视作一块披萨或整体的一部分，虽然哪个都没给学生指明，分数是一个他们不得不用于大量计算的

  数

  。结果，由于对分数的这样一个“定义”，无法定义分数的算术运算，也无法证明其计算算法。再举一例，坐标平面内直线斜率的概念在大多数教科书中被定义为直线上任取预先指定的两点形成的

  高比底(rise-over-run)

  ，但为什么这个高比底和同一个直线上

  另

  两点的高比底相同呢？几乎所有教材都暗示这样的等式是自明的，不需要小题大做。凡此种种不一而足。总的来说，由这些教科书共同定义的学校数学，是与数学的健全性相悖的，因为：

  缺乏清晰性

  （由于定义的普遍缺失和表达中精确性的普遍缺失），通常要求将

  死记硬背

  作为其默认的学习模式（由于普遍缺乏推理），

  不连贯

  （由于其忽视数学固有的逻辑结构），

  以一种无精打采的和走形式的方式遍历整个课程

  （由于无法认识到每个主题背后的数学意图）。我们称这些标准的学校数学教科书的内容为

  TSM（Textbook School Mathematics）

  。TSM被教师和教育者们，或有意识或无意识地认为，是不可学习的，正是这种不可学习性，鼓励无数明智的成年人，常常自豪地宣称：“我不擅长数学！”

  然而，TSM还有一个更为致命的后果，这后果是TSM施加在数学教师和教育者身上的。这些教师和教育者在K12阶段只学习了TSM，但直到2020年，高等院校仍未提供课程帮助未来的教师和教育者用包含数学完整性的学校数学替代他们的TSM知识。结果，大多数老师在回到K12阶段的教学时所能做的只是再拿出他们熟知的TSM，大多数教育者在研究时做的也是依靠他们曾被教授的TSM。所以下一代学习的还是TSM。这是恶性循环，它使得，至少在过去的五十年里，

  学校数学

  与TSM是同义的。大多数教育者可能都怀疑过：学校数学在TSM以外还有更多可能，但是因为没有一个对学校数学的包含数学完整性的阐述，他们的怀疑只能一直是怀疑。

  早在1985年，Lee Shulman在他对AERA的著名演讲中哀叹“在研究教学的各种研究范式中对主题（subject matter）关注的缺乏”（[Shulman, page 6]）。Shulman谈论的是所有学科，但从这六卷书([Wu2011a], [Wu2016a], … , [Wu2020c])的角度来看，对于对主题的忽视如何在数学中产生，我们获得了一个清晰的视角。我们猜测数学教育者选择不去关注数学内容，是因为学校的数学显然只不过是TSM，他们在学校数学的

  主题

  中看不到任何值得他们认真关注的东西。为改变数学教育者对数学的看法，我们必须给他们一个具备数学健全性的对学校数学的详细说明。

  在过去的半个世纪里，TSM的无所不在给人留下了一种明显的印象：也许在TSM中至少有

  一些

  歪曲对学校数学来说是特有的。在这种情况下，很难想象学校数学可能与数学健全性有任何关系。但在1990年左右发生了两件事。1989年，NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）发起了

  学校数学教育改革

  ，宣称学校数学有可能尊重数学的健全性。但是因为没有一个对学校数学的包含数学完整性的阐述，NCTM将自己置于险境之中。然后，在1994年，Alan Schoenfeld发表了一份学术声明，明确暗示：虽然具有数学健全性的学校数学课程是可能的，但是我们还没有。他写道：“证明不是像我们的课程中显现的那样是可以与数学分开的···我相信它可以在所有层次都嵌入进我们的课程中”（[Schoenfeld1994, Page 76]）。Schoenfeld的声明部分是由于围绕NCTM改革的辩论。注意，他除了肯定他对于NCTM改革背后基本信念的信任之外，还公开表示，事实上，这一信念还未被证实。我们在下面将回顾Schoenfeld的声明，但在继续进行之前，我们将对NCTM改革发表一些评论。

  NCTM改革的基本文件是两套标准：1989[NCTM1989]和2000[PSSM]。虽然NCTM没有明确承认TSM的概念，但1989年的改革无疑是对TSM对学校数学教育控制的一次反抗。NCTM在根本上宣称：数学的健全性必须成为学校数学的一部分。举例来说，[NCTM1989]指明，改革的目标之一是让学生“有数学修养（Become mathematically literate）” （第6页）。[PSSM]指明，“数学课程应当是连贯的”（第15页），“应该关注重要的数学”（第15页），“推理和证明应当成为与学生从学前班到十二年级的数学经验一致的一部分”（第56页）。三十年后再回顾，我们可以清楚地看到NCTM改革所面临的障碍。由于学生、教师、教育者们完全浸淫在TSM中，对

  连贯性

  、

  推理

  、

  证明

  嘹亮的呼唤好像是对牛弹琴。他们中的大多数根本不知道这些词意味着什么。

  我们必须记住，例如，TSM只在高中几何课程中提供少得令人可怜的“证明”，即使在那里，证明也主要是死记硬背的（见[Schoenfeld1988]）。早在1989年，还没有关于学校数学的详细的点对点的说明来提供展示怎样在学校数学中引入数学健全性的路线图。没有替代遍布TSM教材的学校数学教材。更为致命的是，NCTM并未承诺一个大规模的、长期的专业发展计划来为教师们解释他们日常教学中的数学健全性可能是什么样的。由于在NCTM改革挺身而出前的这三大打击，改革面临无法克服的信任危机。它对学校数学教育的

  可能性和应然性

  的有远见的宣言立刻成为仅仅花哨的修辞。对具有数学健全性的学校数学的

  详细

  阐述的需求最为紧急。

  具有数学健全性的学校数学的详细阐述本能在另一方面来协助改革。[NCTM1989]和[PSSM]确实尝试提供一些设想中的课程的一些数学细节，它们在这样做的过程中犯了一些错误。例如，[NCTM1989]的第96页表明，分数的加法——不像在TSM中那样不可理解的——必须慎重地引入。而且[NCTM1989]和[PSSM]都没有指出用

  最小公分母

  来操作分数的加法所存在的严重错误（见第41页，有对这失误的解释）。[NCTM1989]和[PSSM]适当地指出了学生在分数乘除法方面遇到的困难，但同样没有关于如何让他们摆脱困境的实质性建议。哪一份文件都本可能指出，需要

  证明分数边

  矩形的面积公式；这样的证明可以在对分数乘法的

  推理和证明以及

  面积的概念的过程中无限制地增加学生的知识和信心（见pp. 49ff中这样的一个证明）。但事实是，两者都没有。[PSSM]的第219页有一个关于分数除法的建议，但它混淆了分数

  除法

  和

  带余除法

  的概念（见[Wu2011a]的7.2节，对后者有一个仔细的讨论）。对于教师（和学生）而言，斜率概念中的困难是臭名昭著的。（例如，见[Stump]的第126页或[Newton-Poon2]），但是[NCPM1989]和[PSSM]似乎都没有意识到

  TSM中所谓的

  斜率概念没有得到正确的定义，因而需要一种新的方法（见本卷的pp. 338-354）,等等。如果有过一个对含有数学健全性的学校数学的详细说明，这些失误和许多其他的失误本可避免。

  大约20年后，即2010年，

  CCSSM

  ，即数学通用普通国家标准（the Common Core State Standards for Mathematics）发布了。 CCSSM要求建立一个

  集中

  和

  连贯

  的课程，这些课程要同时强调

  概念理解

  和

  过程的连续性

  （[CCSSM]的pp. 3-4 and 6）。此外，它还要求

  精确性

  和

  清晰的定义

  （第7页，同前所引）。CCSSM和NCTM改革之间最显著的区别在于CCSSM标准的具体化：它们在年级间数学主题的循序渐进方面更为明确，更重要的是，（大多数时候）将课程从TSM中固有的有缺陷的实践中带离。由于后者，CCSSM中的文件看起来与传统标准不同（包括那些在[NCTM1989]和[PSSM]这些NCTM文件中简要概述的标准）。如此，尤其对于分数、有限小数、有理数（按照[Wu2016a]中第一章和第二章的路线，类似于本书的第一章和第二章）、代数开始的一部分（按照[Wu2016b]中第一章和第四章的路线，类似于本书的第六章）、初中和高中几何（按照[Wu2016a]中第四章和第五章的路线，类似于本书的第四章和第五章）的标准而言。

  然而，在明显缺乏关于CCSSM课程的

  详细

  描述的情况下，CCSSM中课程变化的特征更像是一种政治责任，而不是一种资产。许多人立即将CCSSM和NCTM的改革放在相同的立场上。他们的看法是：这两项运动彰显了当一群人高高在上想谈论学校数学教育但又不知所云时所发生的事情。他们引用的一个引人注目的例子是CCSSM使用反射、旋转、平移作为初中和高中几何课程的基本的框架。由于TSM几何课程内在的缺陷，这样的改变是必须的；这缺陷在于：插入欧几里得在大约二十三世纪前的成果，却

  不说明

  （见本书pp. 157-164的更详细的说明，如需一个综合性的说明，见[Wu2020b]的第八章）。相反，CCSSM呼吁采用一个微妙的两步过程，来引入反射、旋转、平移，作为学校几何课程的基本组成部分。[CCSSM]第55页的标准8.G 描述了在8年级中，如何在启发式论证中非正式地（但正确地）使用这些变换，以发展学生对变换的直觉（在[Wu2016a]的第四章和第五章细化了）。然后，在高中，这些变换被精确地定义，以用于正式的证明（如本卷的第四章和第五章，[Wu2020b]的第六章和第七章）。但是，由于在2010年还没有这样可用的细节，很多批评者、教育者和教师立刻用其他国家类似实验的失败，预测CCSSM的努力即将失败。此外，他们还预测（并非完全错误）试图实施新课程的教师间几乎肯定要产生的困惑，他们认为CCSSM高中几何证明的消失是不可避免的。由于缺乏对如何导向和实现具有健全性的几何通用普通标准的详细的说明，这样的误解不可避免地导致了严厉的批评（例如，见[Milgram-Wurman, pp. 4-5]和[Phelps-Milgram, 第10页和第41页的脚注15]）。因此，CCSSM最终面临着和20年前困扰NCTM改革一样巨大的信任鸿沟。

  CCSSM议程也遗漏了教师专业发展的关键组成部分，从而在全国各地的教室里产生了同样的困惑感。（见[Education Week], [Loewus1], [Loewus2]和[Sawchuk]）。CCSSM似乎是在重复与NCTM改革相同的错误，因为它没有认真对待为教师提供持续的、大规模的专业发展的

  必要性

  ，以助其实施。这三卷的出版，使得至少一个具备数学健全性的学校数学的完整展示——这展示也与CCSSM一致——为这类专业发展提供所需的指导。但这几卷会否有些太迟了呢？只有时间才能证明。

  近期的向数学健全性的推进

  从上述讨论中可以清楚看出，学校数学教育中任何真正的改进都需要我们去重新思考对教师和教育者的数学教育。特别是，TSM破坏性的存在已不能再被忽略。这六卷的写作带着明确的意图——鼓励、支持这样的反思。

  在过去的几年里，有好几本书齐心合力推动将数学健全性引入学校数学，例如，[MET2], [NCTM2009], [MUST], 还有NCTM系列

  《发展基本认知》（Developing Essential Understanding）

  的十六卷（例如, [Ellis-Bieda-Knuth]）。在一本名为

  《我们推导&证明所有的数学》（We Reason & We Prove for All Mathematics, Arbaugh et al.）

  的书中，直接回应了Schoenfeld的关于在K12所有阶段都嵌入证明的可能性的信念（在xv页引用过），通过直截了当地陈述，在他们的书中，他们“将为如何使推理—证明在你的教室中成为现实提供指导”（[Arbaugh et al., page x]）。这些进展是受欢迎的，因为在许多人仍然死板地认为：将整合乐趣和参与活动引入课堂——然而使TSM完好无损——是一种改进学校数学教育的方式时，他们直接强调K12数学的

  内容

  的意愿，标志着在学校数学教育中的向前的一大步。然而，在学校数学教育的这个时刻，我们还必须谨慎地指出，除了指导本身的

  质量

  之外，还有一个关于小剂量地“提供指导”的有效性问题。

  直到2020年，我们必须直面以下令人不快的事实：由于教育机构的长期渎职，大多数接受学校数学教育的人一生都沉浸在TSM中，而且只沉浸在TSM中。因此，大多数人最终既缺乏对数学

  内部机制

  的详细了解，又没有将数学视作整体的

  连贯的观点

  。前者的一个例子是，长期未能意识到：如果没有精确的定义，就无法进行正确的推理（=证明）。同样的另一例是：证明一定不能与启发式的讨论混淆，无论这种讨论多么引人入胜。

  缺乏对数学全面、连贯的观点的例子在TSM中随处可见。但是我们只讨论其中三例。第一例是对数学的整体层次结构缺乏认识；例如，为了在数学进展中

  数学地

  前进，只能使用先前已经证明过的结论。最合适的呈现莫过于TSM中用分数乘法对相等分数的“证明”了——这是TSM中普遍教学的。这样的“证明”应当认识其真面目：

  彻底地反数学

  。在这里，虽然细节是一步一步、无可挑剔的，但是明目张胆的数学错误在于利用了一个事实——分数乘法——然而在构建分数的过程中，分数乘法的证明只能

  后于

  相等分数。——去证明一个几乎在分数被定义的同时就被需要的有关于分数的基本结果。

  第二例是学校数学中全等的地位。在TSM中，两任意图形全等的概念并没有明确的定义，而且在高中几何中只有

  三角形

  的全等被用在了证明中（ASA, SAS, SSS, etc.）。此外，全等似乎和日常生活几乎没什么关系。TSM没有提及，如果没有如下假设：长度，面积，体积对于全等的几何图形保持不变，就根本无法推导出任何面积或体积公式（特别地，甚至无法获得平行四边形和三角形的面积公式）。这种认识使得：（例如）在6或7年级教授三角形面积公式时，教师应努力体现出全等的概念在几何测度中发挥的重要作用（见[Wu2016b]的Section 5.3）。同样的认识也影响高中的几何课程：TSM中欧几里得式地将

  全等

  视作“三角形的全等”的方式必须升级，以便能使“任意两几何形的全等”有意义（见pp. 157ff.对第4章和第5章的综述）。例如，在研究二次函数的过程中就要用到这样的升级（见[Wu2020b]的Section 2.1）。TSM处理像

  全等

  这样基本内容的明显缺陷，事实上是必要全面检修初中和高中的TSM几何课程的一大主要原因（见[Wu2016a]第4、5章，本卷第4、5章，[Wu2020b]第6、7章）。学校数学课程这种纵向的连贯性对学生的数学学习而言如此必要、到了如此精细的程度，以至于不大可能在零星提供一般指导的背景下提出。

  TSM中缺乏全局的、连贯的数学观点的最后一例是：由于√2、π这样数字的出现，中学数学课程要从有理数向

  实数

  转变。TSM使人相信：在学校课程中引入无理数及其算术运算可以秘密而非正式地进行，

  无需任何明确的数学讨论

  。由此产生的数学错误及其对教师和教育者的影响是深远的。参见页xxxi的例子，这例是众多例子中的一个。也请参见[MUST] pp. 207ff. 关于等式√2+√3=√5不正确性的讨论，它没有提到：从来没有对九年级学生进行过对无理数的算术运算的严肃而明确的讨论。为帮助学生完成这种转变，所需的是133页所述的FASM（学校数学基本假设，Fundamental Assumption of School Mathematics），但令人不快的是，像FASM这样的东西从未出现在TSM中。

  为解决在学校数学范围（school mathematics spectrum）两端这样的缺陷，这样的争论是合理的：将教师和数学教育者放在

  完整

  的数学展示中——尊重数学健全性的展示——至少横跨几个年级，会是唯一有效的解决方法（见[NMAP1, Recommendation 19 on page xxi]）。

  我们刚刚部分解释了为什么这六卷（本卷，连同[Wu2011a], [Wu2016a], [Wu2016b], [Wu2020b]和[Wu2020c]）需要2500页详细的

  数学

  讨论来确认：学校数学可以尊重数学的健全性。由于长期以来TSM的腐蚀作用已经渗透和退化了学校数学，我们不得不从头开始重建学校的数学。在这六卷中，我们认为没有什么是理所当然的。例如，我们特别注意需要正确的定义作为推理和证明的基础；我们想要讲清楚一点：一旦给出了一个概念的定义（如

  分数

  ），那么关于这个概念的

  每一个

  后续断言都必须基于定义，并且

  仅基于定义

  。这几卷中的每一个陈述，从自然数到微积分，都得到了仔细的证明。这项努力的目的是：日积月累地澄清陈述句“A蕴含B”的数学意义，作为一个纯粹的演绎过程，从假设A开始，得出结论B。这与TSM中常见的做法：通过讲述故事、通过做类比或提供一个吸引人的范例或启发式论证来“解释”某事，相反。这六卷书采用了完全不同的做法：它们

  一致地

  展示了如何在定义、明确的假设、定理的基础上，在逻辑的帮助下，从A发展到B，来判定数学中的“A蕴含B”。我们强调，这几卷书从第一页到最后一页都是这样做的，因为我们相信，教学的方式不是说教，而是以身作则。使教师（最终是他们的学生）进行推理和证明的过程不一定要是严格的或正式的，特别是在早一些的年级（例如，见[Wu2011a]第4.2节或第6.2节），但逻辑推理的基本要素必须到位，并从头开始保持，以保证数学的健全性。我们还详细介绍了一些看似平淡的主题，如符号的正确使用(第6.1节和第6.2节，pp. 298ff.)，方程代表着什么，以及解一个方程代表着什么(见pp. 322-324)，希望TSM多年来因使用像“变量”和“解方程的符号操作（symbolic manipulations）”这样的黑话所造成的混淆能够仁慈地结束。

  我们希望，上述的讨论已经证明了对具有数学健全性的学校数学进行全面阐述的迫切需要。顺便说一句，我们在整个讨论中反复提到本作者的这六卷书的唯一原因是目前不存在同等的阐述。事实上，我们希望这六卷书的出版能鼓励其他人想出他们自己的方法，用尊重数学健全性的学校数学的发展来取代K-12中的TSM。

  数学教师到底需要知道多少

  了解具有数学健全性的学校数学是什么样子，使我们能够面对在xii页提到过的数学教育中的第二个问题：一个数学教师或一个数学教育者需要知道多少数学。对于教师来说，这个问题有着悠久的历史。例如，见[Ball], [Ball-McDiarmid], [Begle1972], [Goldhaber-Brewer], and [Monk]。我们可以推测，因为学校的课程这么长时间内一直由TSM占据，TSM的缺陷如此明显和广泛，一方面，数学教育者不愿意指定教师就TSM而言需要的知识内容，另一方面，一方面，他们不确定要指定

  什么

  。毕竟，根本没有任何具有数学健全性的学校数学的阐述。既然这六卷已经出版，就有可能第一次尝试描述小学、初中和高中教师和教育者分别需要的能在他们工作中发挥效用的

  最少

  知识（the

  minimum

  knowledge）（再次参见[NMAP1]第xxi页的建议19）。

  小学数学教育系统的工作者需要了解（know）与[Wu2011a]去除第23, 31, 37, 41, 42章后等价的内容；他们还应知晓（have some acquaintance with）与[Wu2016a]第4、第5章，以及[Wu2016b]第1、第2章等价的内容。

  初中数学教育系统的工作者需要了解与[Wu2016a]和[Wu2016b]等价的内容，然后知晓和[Wu2011a]的第一部分、本卷的第4和第5章等价的内容。

  高中数学教育系统的工作者需要了解与本卷、[Wu2020b]、[Wu2020c]等价的内容。此外，因为职前教师和对高中数学感兴趣的教育者通常是大学数学专业的学生，他们被期望了解一些线性代数，即向量空间和矩阵。那些打算教微积分或研究微积分教学的人也应该了解泰勒定理和基本初等函数——如正弦、余弦、指数函数和对数——的泰勒级数展开式；他们也应该知道一些多变量微积分。

  现在考虑分数和（有限）小数的教学和学习。虽然教育研究者在过去五十年中无疑能意识到抽象代数中对分数的简洁处理，然而，对TSM不加批判的接受误导他们相信，

  对于小学生

  ，不能做得比将分数教成披萨的一部分或是其它的一些变种更好了。因此，他们对分数的教学和学习的研究在很大程度上是在调整将分数视作披萨的一部分的那种TSM模型——而不考虑帮助学生将分数

  作为数

  来学习，或是推导出分数的算术，结果，对分数的教育研究集中在促进孩子们更加熟悉

  经验的、非正式的

  分数的披萨模型的认识上，而不是基于对分数的正确定义来促进孩子们对分数的

  数学

  认识。如果它曾经尝试实践后者，它本可以从一开始就拒绝这种荒谬的披萨模式(参见，例如，[Wu2008] 的pp. 33-35对相关文献进行了简要讨论)。同样的教育研究也试图理解——当然没有成功——其他反数学的实践，比如把小数视作一种不同的数字，利用最小公分母加减分数，或者在没有精确定义的情况下教授分数的乘法和除法。直到最近，研究人员才意识到分数的更合理的基础（源于[Wu1998]，扩展到[Wu2011a]；缩略版本在[Wu2016a]的第1章和本卷的第1章中给出）：将分数的研究放在数轴上，强调分数作为算术计算中的

  数字

  的概念，并通过将（有限）小数作为一个特殊的分数集合来合理化它。在这个方向上还有一定的路要走，比如通过在

  任何

  情况下都使用分数的定义来兑现它，例如，在乘法、除法、理解比率等方面利用它。我们热切地期待着未来几年分数和小数的教育研究沿着这些路线的变化。

  学校教科书

  更好的学校数学教育不仅需要更有效的教师，而且还需要只包含具有数学健全性的学校数学的教科书。到目前为止，我们的讨论都是关于得到更有效的教师，而不是关于得到更好的教科书。这不是因为我们认为教科书不那么重要，但由于大多数学校教科书是由主流出版商出版的，学术界的人在说服出版商放弃他们的底线心态、写更好的教科书方面能做的很少(cf. [Keeghan])。然而，现在有一些在线课程或多或少是按照CCSSM编写的，根据一些报道，其中的几个似乎显示出了希望。

  正如我们在一开始所说的，我们希望正在讨论的这六卷书可以成为更好的学校教科书的蓝图。但让我们在这方面补充一些警告。首先，这六卷书肯定不是学生教科书：它们是专门为成年人（教师和教育者，也许还有一些好奇的父母）写的。然而，它们的数学内容已经被精心

  定制

  （即设计），用于适当的年级，至少就

  数学的复杂水平

  而言，以便经过一些直接的教学修改和修饰，它们可以扩展为学生教科书。

  我们希望

  ，这样的例子很快会出现，以八年级学生教科书的形式，发布在作者的主页

  https://math.berkeley.edu/~wu/

  上。至少，我们相信这六卷书一起可以作为对教科书出版商的一个

  详细的指导

  ：指导他们如何在既尊重标准的课程顺序和数学的健全性的基础上，编写横跨K-12的学校数学教科书。为此目的，教科书作者应该注意到，在本卷、[Wu2020b]和[Wu2020c]中，与标准学校课程有几个重大的背离。简单而言，如下所列：

  (1). 将分数转换为无限小数和

  几何测度

  （长度、面积和体积）是中学中典型的两个主题，但在这几卷中，它们出现在第三卷[Wu2020c]，在引入极限之后（见[Wu2020c]的第3-5章）。幸运的是，将分数转换为小数的程序部分在这本书的第1.5节中(pp. 54ff.)被讨论（

  并

  被部分解释），在[Wu2016a]的第5章中有一个对几何测度的直观讨论，这实际上足以在高中课堂上进行（有点肤浅的）使用。

  造成这两种偏离的主要原因是，如果不使用极限，就不可能理解无限小数和几何测度。教师和教育者对这两个主题的微妙之处的一些真正理解的迫切需要，解释了这种偏离规范的原因。在任何情况下，对[Wu2020c]第3-5章的任何修改都需要选择性的删减。

  (2). 这些卷中高中几何的呈现与传统的不同。全等的概念由

  有形的

  、

  可理解的

  概念：平面上的反射、旋转和平移所定义，相似的概念由全等和同样

  有形的

  、

  可理解的

  概念：扩张所定义。详细的解释在第4章和第5章的概述（pp. 157ff.）、第4.7节（pp. 252ff.）、第二卷[Wu2020b]的第8章中给出。因为CCSSM已经在初中和高中几何中采用了这种方法，所以这里没有必要对这种偏离进行辩护。

  (3). 这三卷提出了从初中到高中的一个不同的几何进程，如下。在八年级，在高中入门级的代数之前，教足够的

  非形式（informal）

  几何以把握相似三角形的概念、角-角相似标准（即两三角形若有两角相等，则它们相似，译者注），以及毕达哥拉斯定理的证明。然后在高中几何课程中，重新讨论相似三角形的主题，但这次是从更形式化(formal)的角度。再次，参见第4章和第5章的概述（pp. 157ff.）以得到一个解释（CCSSM也采用了这种偏离标准顺序的做法）。

  (3)中描述的课程转变的介绍将在本卷的第4和第5章给出，

  但有轻微的变化

  。因为

  非形式

  几何（在8年级引入）已经在[Wu2016a]中详细地讨论过，本卷第4章和第5章中的几何将是[Wu2016a]中非形式几何在高中阶段的

  形式

  对应物。对平面几何的主体（三角形、圆和尺规作图的几何）的阐述，在第二卷[Wu2020b]的第6章和第7章继续：在我们结束对第二年代数的标准主题的讨论

  后

  。

  最后的想法

  我们要特别注意，这三卷中的第三卷，也即最后一卷[Wu2020c]，本质上是对数学分析的介绍，专门为潜在的未来的数学教师和教育者定制。这些材料也可能有利于刚开始大学数学专业的学生。

  我们还应该解决一个可能一直萦绕在读者心中的明显问题；也就是说，为什么这本关于高中数学的书从中学的分数和有理数开始？我们无需向数学教育者们解释这些主题间明显的相关性，但我们需要向高中老师解释为什么我们认为这些主题是

  他们

  知识的基本组成部分。事实上——尽管它隐藏在TSM中——有理数，

  而不是

  实数，是5-12年级数学的支柱。不幸的是，由于TSM，所有年级的学生似乎都因分数——因而因有理数——而苦恼。考虑到数学的层次结构，学生无法学习代数往往可以追溯到他们在分数和有理数这样基础主题上的弱点，也就不足为奇了。国家数学咨询小组的报告（National Mathematics Advisory Panel Report，见[NMAP1]的第18页）中指出了这一点。事实上，这个故事已经被讲述了很多次，即使是在代数2的荣誉部分的学生也恳求他们的老师给他们关于分数的指导。因此，为了有效地教授高中数学的标准主题，高中教师必须有一个无TSM(TSM-free)的分数和有理数的工作知识。

  最后的反思：早些时候，我们引用了Lee Shulman的关于“在教学研究的各种研究范式中缺乏关注主题(the absence of focus on subject matter among the various research paradigms for the study of teaching)”的哀叹（见第xiv页）。这六卷书现在已经重新定义了学校数学中

  主题

  的意义。我们希望数学教育者能通过这几卷书发现，学校数学的数学基础，如果正确呈现，将不再像TSM那样毫无意义，而值得他们尽最大努力去学习它。此外，这样重新定义的

  主题

  ，将对“教学的研究”产生影响。随着学校数学变得更可为学生所学习——因而更可为教师所教——教学法将不得不关注的，不是如何将难以理解的转化为可以理解的，而是如何促进学习的

  正常过程

  ，在这样的过程中，所有的学生都可以学习如何批判和正确地推理。

  尽管如此，有必要首先把尊重数学健全性的学校数学作为数学教育研究不可分割的组成部分。这又让人想起了Lee Shulman的哀叹。我们的信念和希望是，当数学教育研究开始强调——不是TSM，而是

  具有数学健全性的学校数学

  ——时，学校数学教育将得到改善。

  致谢

  这卷和其它两卷——[Wu2020b]和[Wu2020c]——的草稿，自2006年以来在加州大学伯克利分校数学系作为一个三学期的课程——Math 151–153——的教科书。这课程是为职前高中教师创建的。实现这些课程最重要的两个人是数学系早年间的两位系主任：Calvin Moore和Ted Slaman。我非常感谢他们的支持。我必须提到，Ted一度自愿为我教一门额外的课程，以便解放我去写这几卷书的早期草稿。但愿我们所有人都能像他一样！（Would that all of us had chairs like him!怀疑应当有双关，但译者才疏学浅，不知如何译，译者注）当时的物理科学院长Mark Richards也从一开始就支持这些课程。他的支持不仅对我个人意义重大，而且我怀疑这也与这些课程得以在一个以研究为导向的部门中幸存下来有关。

  显然，如果没有学生和朋友的慷慨帮助——以改正和改进建议的形式——就不可能写出这三卷教材。在这方面，我很幸运，我要感谢他们所有人的重要贡献：Richard Askey, David Ebin, Emiliano Gómez, Larry Francis, Ole Hald, Sunil Koswatta, Bob LeBoeuf, Gowri Meda, Clinton Rempel, Ken Ribet, Shari Lind Scott, Angelo Segalla, and Kelli Talaska。Dick Askey的名字将在这些书的几个地方被提到，但我从他的评判中得到的好处要比那些明确的引用所表明的多得多。我特别欣赏他在早期就和我一样相信TSM对学校数学教育的腐蚀作用。David Ebin和Angelo Segalla分别在纽约州立大学石溪分校和南加州大学长滩分校教授这些书，我非常感谢他们对战壕的宝贵投入。我还必须感谢Emiliano Gómez，除了Ole Hald之外，他教这些课程的次数比任何人都多。他的一些看似简单的评论引发了很多反省和广泛的修正。Bob LeBoeuf忍受了我很多最后时刻的求助，他展示出对一项事业的真正奉献精神的真髓。

  如果没有斯坦福大学的Thomas Kailath教授、Julius O. Smith III教授以及Robert Greene——我在UCLA的长期合作者——的特殊帮助，第三卷关于正弦和余弦重要性的1.9节是不可能写就的。我很感谢他们非凡的谦恭。

  最后，我必须挑出两个名字来表达我的感激。Larry Francis是我多年的编辑，从第一个字到最后一个字，他都同样细致地仔细研究了这些手稿的每一个草稿。我想借此机会感谢他一直为我提供的宝贵帮助。Ole Hald亲自教授了整个Math 151–153课程——好几次都片刻不停地教学——以帮助我改进这几卷。他做过的，我怎么也数不清。在过去的九年里，他无数的修正和建议，无论大大小小，都导致了

  许多

  戏剧性的进步。我欠他的太多了，无法用言语表达。

  伍鸿熙

  加州伯克利

  2020年2月2日

  译就于2202 0201 2024

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